小林/2010後期輪講
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[[小林]]
*2010後期輪講 [#mdbdf650]
よく分かる有限要素法
主に発表のスライドの為のまとめのページです。~
なので詳しいところなどは端折ってあります、。~
3人で手分けしてまとめるので合流用に。。。
かじくんへ~
ぼくって8.2.3まででいいんだっけ
7:13 なんとかおわりました・・、あとは詳しい内容理解・・・。
**オイラー・ラグランジュ方程式 [#ga0e522c]
***δI = 0を満たす式 [#z3187acb]
(変分法を学問へと仕上げるきっかけを作った→ラグランジュ、らしい。)
先ほど(?)
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0)
RIGHT:(8.24)
→変分方向にテイラー展開すると出る項(?)
上記に部分積分法を施し、重み付け残差法の積分式に持っていく。(要確認)~
→&texvc(\int(\cdots)\phi_1(x)=0);に変換~
→そこから(・・・)が何であるかを見つけ出す。
(8.24)を展開→(8.25)
#texvc(\frac{\partial I}{\partial\delta y_1}=\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{d\delta{y_1}}+\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{dy'}{d\delta{y_1}}\right)dx=0)
RIGHT:(8.25)
ここで近似解&texvc((y(x)));は&texvc(y(x)=y_0(x)+\delta_y(x));、もすくは&texvc(y(x)=y_0(x)+\delta{y_1}(x) \phi(x));。
これをxで微分。(?)~
→&texvc(y'(x)=y'_0(x)+\delta{y_1}(x)\phi'_1(x));
さらに&texvc("y(x),y'(x)");を&texvc(\delta{y_1});で微分。
→&texvc("\frac{dy}{d\delta{y_1}}=\phi_1(x),\frac{dy'}{d\delta{y_1}}=\phi_1/dx");。
結果的に
#texvc(\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}=\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}\phi_1(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{\phi_1}{dx}\right)dx=0)
RIGHT:(8.26)
((8.26)の第1項には、Φ1がかけられているが、第2項にはその微分がかけられている。)
重み付け残差法の積分式の形にするには~
→第2項の&texvc(\phi_1/dx);を積分(なぜ?)~
→つまり第2項に部分積分を施す必要がある
結果として
#texvc(\frac{\partial I}{\partial \delta y_1}=\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}\phi_1(x)\right)dx+\left.\frac{\partial F}{\partial y'}\phi_1\right|_0^L-\int_0^L\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\phi_1 dx=0)
RIGHT:(8.27)
この問題では
(〜〜〜)(要確認)
→ディクレ型!~
→&texvc(\phi_1(0)=\phi_1(L)=0);
したがって、、(8.27)式は
#texvc(\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right)\phi_1dx=0)
RIGHT:(8.28)
になり~
領域の長さは任意であるので
#texvc(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0)
RIGHT:(8.29)
として表せる。
この式をオイラー・ラグランジュ方程式という。~
→&texvc(y(x));が極値になるための条件&texvc(\delta{I}=0);を満たす。(要確認)
***状態関数と微分方程式との架け橋 [#o456ceec]
先ほど求めた
#texvc(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0)
RIGHT:(8.29)
Fにヘルムホルツ方程式の状態関数(F)を代入してみる。
状態関数とは、
→&texvc("F(x,y,y')=-\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{1}{2}\alpha^2 y^2");
RIGHT:(8.30)
この状態関数をそれぞれ&texvc(y);と&texvc(y');で微分すると&texvc("\frac{\partial{F}}{\partial{y}}=\alpha^2{y} , \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}=-\frac{dy}{dx}");~
さらにこの&texvc(\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y'}}=-\frac{dy}{dx}\right));をxで微分(なぜ。。)
→&texvc(-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y'}}\right)=\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}\partial{x}});
RIGHT:(8.31)
これをオイラー式に挿入すると、、、
結果的に
#texvc(\frac{\partial^2 y}{\partial{x}\partial{x}}+\alpha^2 y=0)
RIGHT:(8.32)
というヘルムホルツ方程式になる。
このようにオイラー・ラグランジュ方程式は
状態関数→微分方程式 と変換する式!
#texvc("F(x,y,y')=-\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{1}{2}\alpha^2 y^2")
RIGHT:(8.33)
~&texvc(\int_0^L\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y'}}\right)\right)\phi_1 dx=0);
RIGHT:(8.34)
~→&texvc(\int_0^L\left(\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}\partial{x}}+\alpha^2 y\right)\phi_1 dx=0);
RIGHT:(8.35)
↑(このあたり確認しなおし。)
(これは「重み付け残差法で定義した積分式は変分法から得られた式だった」と言い換えられる)(これも要確認)
(このあたりからどうまとめるかかんがえる)~
・(8.35)は重み付け残差法で説明したとおり残差と重み関数の席を積分した式とおなじ。~
・重み付け残差法で正義下残差はオイラー・ラグランジュ方程式であり、~
y(x)が極値となる必要条件(δI=0)を満たす積分式~
・以上より重み付け残差法のルールはすべて変分法で解を得る手段
***例題で示す積分式とδy1の関係 [#jbbbc472]
以前計算した問題を例題に(いつの?)
図。 &texvc("\alpha^2=1,L=1,y(0)=0,y(L)=1");
厳密解→&texvc(y_0(x)=\sin(x)/\sin(1));
状態関数
→&texvc("F(x,y,y')=-\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{1}{2}\alpha^2{y^2}");
RIGHT:(8.36)
~近似解→&texvc(y(x)=y_0(x)+\delta_y(x));を使う(これは前回と同じらしい。確認。)
ここで問題になるのが、、、~
上記の式の&texvc(\delta_y(x));または、&texvc(\phi_1(x));の決め方。~
→前述のとおり変分法では&texvc(\delta_y(x));についてルールはない(勝手に決めてよい)~
→以前に使ったことがある式を利用
#texvc(\delta_y(x)=\delta{y_1}\phi_1(x)=\delta{y_1}\frac{x}{L}\left(1-\frac{x}{L}\right))
RIGHT:(8.37)
(少々荒っぽいがこのようにできるのが変分法の特徴)
&texvc(\delta_y(x));に制約がない→自由度がある→数値解析を行う上では有利なこと
図。
&texvc(\delta{y_1});を0から1.3まで積分(?)~
積分区間は&texvc(x=0);から&texvc(x=L);~
図のように&texvc(\delta{y_1}=0);で&texvc((I));は最大になる。(つまり?)
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0);
-----
texの()とか|を伸ばす文法ってどんなですかね・・。
- つ&color(blue){G};&color(red){o};&color(orange){o};&color(blue){g};&color(green){l};&color(red){e};
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0);
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0);
--http://denko-laboratory.ddo.jp/pc/latex/latex_command_math.htm
->ぼくって8.2.3まででいいんだっけ
http://dic.nicovideo.jp/oekaki/263151.png
--大丈夫だ、問題ない。ただぼくは大丈夫じゃない、問題だ。
by http://s1160057.dip.jp/public/picture/Lento.png &new{2010-11-29 (月) 10:52:43};
- まじで画像とか何事かと思った。 まとめのためにいつ集まればいいんだい?? -- [[小林]] &new{2010-11-29 (月) 17:49:43};
- まったく終わってないんだが大丈夫か?近藤さんとも連絡がつかないが。集まるだけなら私はいつでもおk -- [[Lento]] &new{2010-11-29 (月) 17:59:07};
- バイトもあるんで10時とか過ぎちゃうんだけどいいのかしら。 あと細かい手直しをバイト前に。。 かじくn、いやLentoさんありがとう! -- [[小林]] &new{2010-11-29 (月) 18:01:25};
- 10時以降ってことかい? -- [[Lento]] &new{2010-11-29 (月) 18:07:11};
- 僕はそうなるね、、あれだったら、先に二人で各々のスライドとか書いててもらえるといいのかも・・。 -- [[小林]] &new{2010-11-29 (月) 18:13:38};
- 了解、自分のまとめさえできていないからそっちを進めることにするよ。 -- [[Lento]] &new{2010-11-29 (月) 18:16:36};
#comment
終了行:
[[小林]]
*2010後期輪講 [#mdbdf650]
よく分かる有限要素法
主に発表のスライドの為のまとめのページです。~
なので詳しいところなどは端折ってあります、。~
3人で手分けしてまとめるので合流用に。。。
かじくんへ~
ぼくって8.2.3まででいいんだっけ
7:13 なんとかおわりました・・、あとは詳しい内容理解・・・。
**オイラー・ラグランジュ方程式 [#ga0e522c]
***δI = 0を満たす式 [#z3187acb]
(変分法を学問へと仕上げるきっかけを作った→ラグランジュ、らしい。)
先ほど(?)
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0)
RIGHT:(8.24)
→変分方向にテイラー展開すると出る項(?)
上記に部分積分法を施し、重み付け残差法の積分式に持っていく。(要確認)~
→&texvc(\int(\cdots)\phi_1(x)=0);に変換~
→そこから(・・・)が何であるかを見つけ出す。
(8.24)を展開→(8.25)
#texvc(\frac{\partial I}{\partial\delta y_1}=\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{d\delta{y_1}}+\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{dy'}{d\delta{y_1}}\right)dx=0)
RIGHT:(8.25)
ここで近似解&texvc((y(x)));は&texvc(y(x)=y_0(x)+\delta_y(x));、もすくは&texvc(y(x)=y_0(x)+\delta{y_1}(x) \phi(x));。
これをxで微分。(?)~
→&texvc(y'(x)=y'_0(x)+\delta{y_1}(x)\phi'_1(x));
さらに&texvc("y(x),y'(x)");を&texvc(\delta{y_1});で微分。
→&texvc("\frac{dy}{d\delta{y_1}}=\phi_1(x),\frac{dy'}{d\delta{y_1}}=\phi_1/dx");。
結果的に
#texvc(\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}=\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}\phi_1(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\frac{\phi_1}{dx}\right)dx=0)
RIGHT:(8.26)
((8.26)の第1項には、Φ1がかけられているが、第2項にはその微分がかけられている。)
重み付け残差法の積分式の形にするには~
→第2項の&texvc(\phi_1/dx);を積分(なぜ?)~
→つまり第2項に部分積分を施す必要がある
結果として
#texvc(\frac{\partial I}{\partial \delta y_1}=\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}\phi_1(x)\right)dx+\left.\frac{\partial F}{\partial y'}\phi_1\right|_0^L-\int_0^L\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\phi_1 dx=0)
RIGHT:(8.27)
この問題では
(〜〜〜)(要確認)
→ディクレ型!~
→&texvc(\phi_1(0)=\phi_1(L)=0);
したがって、、(8.27)式は
#texvc(\int_0^L\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right)\phi_1dx=0)
RIGHT:(8.28)
になり~
領域の長さは任意であるので
#texvc(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0)
RIGHT:(8.29)
として表せる。
この式をオイラー・ラグランジュ方程式という。~
→&texvc(y(x));が極値になるための条件&texvc(\delta{I}=0);を満たす。(要確認)
***状態関数と微分方程式との架け橋 [#o456ceec]
先ほど求めた
#texvc(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0)
RIGHT:(8.29)
Fにヘルムホルツ方程式の状態関数(F)を代入してみる。
状態関数とは、
→&texvc("F(x,y,y')=-\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{1}{2}\alpha^2 y^2");
RIGHT:(8.30)
この状態関数をそれぞれ&texvc(y);と&texvc(y');で微分すると&texvc("\frac{\partial{F}}{\partial{y}}=\alpha^2{y} , \frac{\partial{F}}{\partial{y'}}=-\frac{dy}{dx}");~
さらにこの&texvc(\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y'}}=-\frac{dy}{dx}\right));をxで微分(なぜ。。)
→&texvc(-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y'}}\right)=\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}\partial{x}});
RIGHT:(8.31)
これをオイラー式に挿入すると、、、
結果的に
#texvc(\frac{\partial^2 y}{\partial{x}\partial{x}}+\alpha^2 y=0)
RIGHT:(8.32)
というヘルムホルツ方程式になる。
このようにオイラー・ラグランジュ方程式は
状態関数→微分方程式 と変換する式!
#texvc("F(x,y,y')=-\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{1}{2}\alpha^2 y^2")
RIGHT:(8.33)
~&texvc(\int_0^L\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{F}}{\partial{y'}}\right)\right)\phi_1 dx=0);
RIGHT:(8.34)
~→&texvc(\int_0^L\left(\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}\partial{x}}+\alpha^2 y\right)\phi_1 dx=0);
RIGHT:(8.35)
↑(このあたり確認しなおし。)
(これは「重み付け残差法で定義した積分式は変分法から得られた式だった」と言い換えられる)(これも要確認)
(このあたりからどうまとめるかかんがえる)~
・(8.35)は重み付け残差法で説明したとおり残差と重み関数の席を積分した式とおなじ。~
・重み付け残差法で正義下残差はオイラー・ラグランジュ方程式であり、~
y(x)が極値となる必要条件(δI=0)を満たす積分式~
・以上より重み付け残差法のルールはすべて変分法で解を得る手段
***例題で示す積分式とδy1の関係 [#jbbbc472]
以前計算した問題を例題に(いつの?)
図。 &texvc("\alpha^2=1,L=1,y(0)=0,y(L)=1");
厳密解→&texvc(y_0(x)=\sin(x)/\sin(1));
状態関数
→&texvc("F(x,y,y')=-\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{1}{2}\alpha^2{y^2}");
RIGHT:(8.36)
~近似解→&texvc(y(x)=y_0(x)+\delta_y(x));を使う(これは前回と同じらしい。確認。)
ここで問題になるのが、、、~
上記の式の&texvc(\delta_y(x));または、&texvc(\phi_1(x));の決め方。~
→前述のとおり変分法では&texvc(\delta_y(x));についてルールはない(勝手に決めてよい)~
→以前に使ったことがある式を利用
#texvc(\delta_y(x)=\delta{y_1}\phi_1(x)=\delta{y_1}\frac{x}{L}\left(1-\frac{x}{L}\right))
RIGHT:(8.37)
(少々荒っぽいがこのようにできるのが変分法の特徴)
&texvc(\delta_y(x));に制約がない→自由度がある→数値解析を行う上では有利なこと
図。
&texvc(\delta{y_1});を0から1.3まで積分(?)~
積分区間は&texvc(x=0);から&texvc(x=L);~
図のように&texvc(\delta{y_1}=0);で&texvc((I));は最大になる。(つまり?)
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0);
-----
texの()とか|を伸ばす文法ってどんなですかね・・。
- つ&color(blue){G};&color(red){o};&color(orange){o};&color(blue){g};&color(green){l};&color(red){e};
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0);
#texvc(\left.\frac{\partial I}{\partial\delta{y_1}}\right|_{\delta{y_1}=0}=0);
--http://denko-laboratory.ddo.jp/pc/latex/latex_command_math.htm
->ぼくって8.2.3まででいいんだっけ
http://dic.nicovideo.jp/oekaki/263151.png
--大丈夫だ、問題ない。ただぼくは大丈夫じゃない、問題だ。
by http://s1160057.dip.jp/public/picture/Lento.png &new{2010-11-29 (月) 10:52:43};
- まじで画像とか何事かと思った。 まとめのためにいつ集まればいいんだい?? -- [[小林]] &new{2010-11-29 (月) 17:49:43};
- まったく終わってないんだが大丈夫か?近藤さんとも連絡がつかないが。集まるだけなら私はいつでもおk -- [[Lento]] &new{2010-11-29 (月) 17:59:07};
- バイトもあるんで10時とか過ぎちゃうんだけどいいのかしら。 あと細かい手直しをバイト前に。。 かじくn、いやLentoさんありがとう! -- [[小林]] &new{2010-11-29 (月) 18:01:25};
- 10時以降ってことかい? -- [[Lento]] &new{2010-11-29 (月) 18:07:11};
- 僕はそうなるね、、あれだったら、先に二人で各々のスライドとか書いててもらえるといいのかも・・。 -- [[小林]] &new{2010-11-29 (月) 18:13:38};
- 了解、自分のまとめさえできていないからそっちを進めることにするよ。 -- [[Lento]] &new{2010-11-29 (月) 18:16:36};
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